La storia vera della “versiera” di M.G. Agnesi

preceduta da una biografia ragionata della matematica milanese

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Figg. 1, 2 – Francobollo emesso l’anno scorso in occasione del terzo centenario della nascita di Maria Gaetana Agnesi (1718-1799), che ebbe meriti straordinari nelle matematiche e nella filantropia. L’immagine è tratta da un’incisione su disegno (1812) di Maria Longhi, frutto di libera e idealizzata interpretazione di un acquerello di Benigno Bossi. Più verisimigliante, assai probabilmente, è il busto  che si conserva alla Pinacoteca Ambrosiana (qui sotto), realizzato da G. Franchi, professore all’Accademia di Brera, quando l’Agnesi era in vita. In basso nel francobollo, la curva “cubica razionale”, esprimibile cioè con un’equazione algebrica di terzo grado in x e y, nota come “versiera di Agnesi”.

Di Maria Gaetana Agnesi ultimamente si è scritto parecchio, moltissimo, anche perché l’anno scorso ricorreva il terzo centenario della sua nascita. Quel che su di lei è stato scritto può essere classificato, grosso modo, in due categorie:
a) Libri e articoli biografici, pubblicati a stampa e in rete che della vita della matematica e benefattrice milanese riportano e riassumono quanto si legge nell’ottimo Elogio storico di Donna Maria Gaetana Agnesi, scritto dal conte Antonio Francesco Frisi, stampato a Milano nel 1799. Raccontano tutti a un dipresso la stessa storia, talora infarcita d’imprecisioni, dovute al fatto che si sono consultate – e interpretate – fonti secondarie, desunte da quella primaria (il Frisi).
b) Libri e articoli, non necessariamente dedicati alla figura di Maria Gaetana Agnesi, ma che comunque ne parlano, in virtù del suo contributo al progresso delle Matematiche; in particolare, si diffondono sulla cosiddetta “versiera di Agnesi”, una figura piana (una “cubica”), che sarebbe stata scoperta dalla nostra matematica: ma ciò non corrisponde al vero, come vedremo. L’imprecisione dell’attribuzione nasce dal fatto che tali scritti riportano notizie desunte da fonti terziarie, che attingono a fonti secondarie che hanno frainteso quelle primarie. Cioè, abbiamo parlato di fonti terziarie per economia del discorso; dovremmo a rigore parlare di fonti n-arie, che hanno attinto a fonti (n – 1)-arie, a loro volta desunte da fonti (n -2)-arie ecc.

Inoltre, come vedremo, è per lo più sbagliata la spiegazione che si suole dare al termine “versiera”, quasi che questa curva volesse indicare un “seno contrario”: ma un seno in che senso? e contrario a che cosa?

Non è un caso che il francobollo commemorativo emesso dalle Poste italiane l’anno scorso (2018) presenti, sotto il ritratto di Maria Gaetana Agnesi giovinetta, la “sua” versiera, perché questo è il principale titolo di merito attribuito a colei che fu da giovane una fanciulla prodigio e che nell’età matura fu poco meno che una santa, pervasa di un cattolicesimo che dire lombardo sarebbe riduttivo. Vero è che il cattolicesimo dell’Agnesi è improntato a concretezza e amore per il prossimo, e che perciò può essere confrontato con quello di Federico Borromeo, il cardinale Federigo (con la “g”) dei Promessi sposi. Ma lei va oltre: come vedremo, Maria Gaetana Agnesi vorrà cimentarsi nell’impresa titanica di confutare l’impossibilità di essere compiutamente cristiani. Un po’ come il principe Myškin nell’Idiota di Dostoevskij.
Dunque la fama dell’Agnesi, che ha meriti matematici grandissimi, non dovrebbe essere appiattita nella versiera. Eppure nel 2015, in previsione, di lì a qualche anno, del terzo centenario della sua nascita, i signori del motore di ricerca Google hanno pensato di crearle quello che si chiama un “doodle” (che, tradotto dall’inglese, significa “scarabocchio”), cioè uno speciale logo di Google, personalizzato. Il doodle di Maria Gaetana Agnesi presenta naturalmente la “sua” versiera, che in realtà non è sua.

Fig. 3 – Il “doodle” dedicato a Maria Gaetana Agnesi.

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1. Cenni biografici

Sulla vita e le intenzioni di vita di Maria Gaetana Agnesi, esiste una fonte autorevolissima, non “superata” né contrastata da alcun altro documento. Questa fonte è l’Elogio storico di Donna Maria Gaetana Agnesi, del quale si diceva. Qui sotto ne vediamo la cosiddetta “illustrazione d’antiporta”, cioè l’illustrazione a sinistra del frontespizio, un disegno del busto modellato su creta nel laboratorio di uno scultore, che l’aveva osservata attentamente dal vivo, e che poi trasferì sul marmo. Lo scultore è Giuseppe Franchi, professore di Scultura e Disegno all’Accademia delle Belle Arti di Brera; il busto è conservato alla Pinacoteca Ambrosiana.[1] L’immagine è diversa da quella del francobollo, che semmai somiglia al busto che vediamo nel cortile d’onore del palazzo di Brera, Milano, di fattura ottocentesca: ma sono questi dettagli di poco conto, tranne che per i maliziosi.

Fig. 4 – Immagine d’antiporta del libro scritto dal conte Antonio Francesco Frisi, fratello di Paolo Frisi, famoso matematico e astronomo. Facendo clic sull’immagine (il disegno è ancora del Franchi, autore del busto di fig. 2) è possibile sfogliare il libro. Intorno al ritratto si legge un’espressione che Tacito scrisse per la Vita di Agricola, ma qui attribuita all’Agnesi: «Dissimulatione famae famam auxit», cioè “Accrebbe la propria reputazione non facendo conto della propria fama”.

Sfogliando il libro – la fonte primaria che si diceva – apprendiamo che Maria Gaetana Agnesi è figlia di Pietro Agnesi, Regio Feudatario di Montevecchia, che è un colle morenico dell’amena Brianza. A Montevecchia don Pietro aveva una villa, in stile rococò, al cui muro di recinzione leggiamo affissa la seguente iscrizione: «Maria Gaetana Agnesi, dei matematici veri e della carità sapientissima [cioè, traducendo dall’italiano latineggiante in italiano corrente: la più sapiente fra i matematici e tra gli uomini la più caritatevole], giovinetta e ottuagenaria allietò nella pace la sua vita umile e grande».

Fig. 5 – Villa Agnesi a Montevecchia.

Il padre non tardò ad accorgersi delle doti intellettuali e delle straordinarie doti mnemoniche della figlia, primogenita di ventiquattro fratelli e sorelle,[2] di primo e secondo letto. Le apprese il francese, nella qual lingua la fanciulla «fece così rapidi progressi che appena giunta agli anni cinque del viver suo, ne sostenne prove non volgari alla presenza de’ parenti ed amici fra le domestiche pareti».[3] Quanto al latino, il buon padre osservò nella figlia, come per caso, «una sorprendente facilità in ritenere e ripetere le ascoltate lezioni [di latino] del fratello, con mirabile ordine e precisione». Le diede allora come insegnate di latino il religioso, chierico regolare teatino[4] che a casa Agnesi era il padre spirituale di tutta la famiglia. E poi altri maestri ancora.
Tra i molti intellettuali che frequentavano il circolo di casa Agnesi, c’era l’abate Gemelli, uno dei maestri che seguivano gli straordinari progressi della fanciulla, il quale, pensando alle doti dell’allieva, scrisse e recitò un’orazione che aveva per argomento gli studi delle donne. Ebbene, Maria Gaetana aveva fatto progressi così rapidi nello studio del latino che poco prima di compiere i nove anni la «tradusse ottimamente dall’italiano in latino…, [e la] recitò dappoi a memoria nel giardino di sua casa, alla presenza di una numerosa e colta adunanza, a tale oggetto invitata, riscuotendone non comuni applausi».[5] Don Pietro, manifestamente orgoglioso del talento della figlia, si compiaceva di darne prova agl’intelletti migliori di Milano, più o meno come avrebbe fatto, circa quarant’anni dopo, ovviamente mutatis mutandis, Leopold Mozart, padre di Wolfgang Amadeus.
Scrive sempre il Frisi: «Non andò guari [cioè, non passò molto tempo] che anche la nostra Agnesi poté meritarsi il titolo di “Oracolo settilingue”, avendo ella aggiunte al possesso della lingua italiana, latina e francese, eziandio la greca, l’ebraica, la tedesca e la spagnola». Sotto la guida di ottimi maestri continuava a perfezionare gli studi letterari, faceva traduzioni.
Maria Gaetana aveva diciannove anni e già la fama delle sue doti aveva valicato i confini dell’Italia quando «dallo studio dell’eloquenza e delle lingue era passata per ubbidire al padre agli ardui e sublimi della filosofia». Sotto la guida d’illustri scienziati che frequentavano il cenacolo di don Pietro Agnesi, prese a studiare gli Elementi di Euclide, cioè la geometria, e ancora logica e metafisica, fisica teorica e applicata. I maestri erano sbalorditi, tant’è che «inoltratasi ella con mirabile rapidità in queste scienze, vollero gli esperti precettori che la loro brava discepola esponesse successivamente in privata compagnia domestica a pubblico cimento i propri progressi con varie tesi filosofiche, sostenute alla presenza di scelti e qualificati personaggi della sua patria». Alle domande Maria Gaetana rispondeva mostrando perfetta conoscenza della materia, in purissima lingua latina. Avvenne così che «in una generale disputa, tenuta al solito in sua casa nel principio del 1738, diciannovesimo di sua età… [avesse] a difendere centonovantuna tesi, alla presenza de’ principali Ministri e Senatori, e dei più celebri Letterati di Milano». Le tesi filosofiche di Maria Gaetana Agnesi furono date alle stampe lo stesso anno con il titolo Propositiones philosophicae quas crebris disputationibus domi habitis coram clarissimis viris explicabat ex tempore et ab obiectis vindicabat Maria Cajetana de Agnesii Mediolanensis. Nel corso di tali “Accademie” (così le chiamavano) l’Agnesi rispondeva alle domande e intavolava discussioni che vertevano, tra l’altro, su logica, ontologia, pneumatologia, meccanica dei gravi, fluidodinamica, astronomia, geografia, zoologia, botanica e geologia. Questi sono appunto gli argomenti del libro, il cui titolo può essere tradotto così: “Tesi filosofiche esposte estemporaneamente da Maria Gaetana Agnesi nel corso di frequenti dibattiti che ebbero luogo a casa sua alla presenza d’uomini illustrissimi, e da lei difese contro le obiezioni che le si muovevano”.

Fig. 6 – Per leggere il libro, fare clic sull’immagine.

Varrà la pena precisare che già l’anno precedente la pubblicazione del libro, Maria Gaetana Agnesi aveva preso a studiare il Traité analytique des sections coniques del Marchese de l’Hôpital, sul quale scrisse un ampio commento, ancora inedito (il manoscritto è conservato presso la Biblioteca Ambrosiana di Milano).
Gli straordinari progressi nelle Lettere e nelle Scienze non ebbero tuttavia «forza bastante di scuotere il di lei animo, né di incitarlo ad alcuna troppo del resto naturale presunzione dei suoi talenti e di se stessa». In altre parole, Maria Gaetana non era assatanata di gloria. Perciò «giunta ella appena al ventesimo anno, determinò di ritirarsi dal mondo e abbracciare il solitario instituto delle religiose, dette volgarmente Celesti o Turchine, dal colore dell’abito». In altre parole pensò di monacarsi. Chiese pertanto il consenso al padre, il quale non dissimulò «l’acerbo suo dolore, in procinto di essere abbandonato da una sì cara figlia, che meritatamente era fra le altre la delizia del viver suo». Maria Gaetana prese atto del dolore paterno e fece «totale sacrificio delle sue più naturali inclinazioni». Consultatasi con il padre spirituale capì di essere «destinata nel secolo al bene de’ prossimi, ed a soglievo della languente umanità». Rinunciò dunque al proposito di farsi suora, presentò tuttavia al padre tre condizioni: «di vestir semplice e dimesso; di recarsi ad ogni suo arbitrio alla chiesa; e di totalmente lasciare i balli, i teatri ed i profani divertimenti». Il padre accettò le condizioni e la figlia accettò di fare la volontà del padre.
Maria Gaetana tornò a concentrarsi nell’algebra e nella geometria, ponendosi sotto la guida del padre olivetano Ramiro Rampinelli, che ne riconosce immediatamente il talento, la indirizza alla risoluzione dei più difficili problemi geometrici e la mette in contatto con altri esimi matematici.
Dopo aver meditato di pubblicare un commento al trattato del Marchese de l’Hôpital, del quale si è detto, l’Agnesi cambia idea, a favore di un’iniziativa che, più che affermare la sua superiorità intellettuale, risulti utile al suo tempo, e a maggior gloria di Dio. Così nel 1748 pubblica le Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana, con dedica all’imperatrice Maria Teresa d’Austria. Ed è questa l’opera dove si fa cenno della versiera, della quale diremo.

Fig. 7 – Facendo clic sull’immagine è possibile sfogliare il il libro: in particolare, a p. 381, si fa menzione della versiera. L’Accademia delle Scienze di Parigi ne farà tradurre[6] la parte II su raccomandazione dei celebri matematici J. d’Alembert, M.J.A.C. Condorcet e A.T. Vandermonde. In Inghilterra, il libro è tradotto nel 1760 da John Colson, professore di matematica a Cambridge e traduttore di Newton (dal latino in inglese);[7] ma la traduzione delle Instituzioni analitiche vedrà le stampe soltanto nel 1801.[8]

Il libro è accolto con plauso unanime, in Italia e all’estero; la sua lingua è proposta come modello esemplare di italiano scientifico. Colei che fu una fanciulla prodigiosa, poi una giovinetta geniale, adesso ha trent’anni: subito dopo la pubblicazione, viene chiamata a far parte dell’Accademia delle Scienze di Bologna; la Reale Accademia delle Scienze di Parigi si rammarica di non poterla accogliere tra i suoi membri, a norma di Statuto,[9] ma tesse un elogio della sua opera, per l’ordine, la chiarezza e la precisione dell’esposizione: le Istituzioni analitiche dell’Agnesi – così afferma – contengono tutta l’analisi di Cartesio e quasi tutte le scoperte che si sono fatte fino al presente nel calcolo differenziale e integrale. E loda la sagacità con cui problemi affrontati dai matematici moderni con procedure sempre diverse sono stati presentati in una cornice espositiva unitaria. I matematici e “filosofi naturali” d’Europa scrivono a Maria Gaetana Agnesi per confrontarsi sulle questioni più sottili.
Maria Gaetana fece recapitare le sue Instituzioni analitiche all’imperatrice Maria Teresa, alla quale sono dedicate. La Sovrana – per tramite del conte Gianluca Pallavicini, Ministro imperiale (avremo modo di parlarne ancora, a proposito dell’alterco che ebbe, quattro anni dopo, con il padre di Maria Gaetana) – manifestò alla matematica il suo «clementissimo gradimento», contestualmente facendole recapitare «una preziosa scatola di cristallo di monte [cioè, di quarzo purissimo] ornata con brillanti, ed un anello di diamanti»[10] che in seguito saranno venduti per sopperire, come vedremo, a certe sopravvenute esigenze economiche.
Il Pontefice Benedetto XIV (papa Lambertini) scrive all’insigne matematica una lettera gratulatoria, dove ricorda che «lo studio dell’analisi fu da Noi intrapreso nel primo fiore della nostra gioventù; ma fu poi affatto abbandonato, essendoci consecrati a quegli studj proprj di quello Stato, a cui la Divina Provvidenza ci aveva prescelto»; tuttavia, soggiunge il pontefice, «leggendo alcuni capitoli dell’analisi delle quantità finite, siamo in grado di poter francamente sostenere, ch’ella è senza dubbio nel numero dei primi professori dell’Analisi, che contribuirà alla riputazione letteraria dell’Italia, e della nostra Accademia delle Scienze di Bologna, a cui ella è con tanto nostro contento aggregata». A questo punto, a secoli di distanza, non possiamo che levarci il cappello, oltre che davanti a M.G. Agnesi, anche davanti al pontefice: ma è colui che, quand’era “soltanto” il cardinale Lambertini, ottenne che Laura Bassi, fisica di scuola newtoniana, la seconda donna laureata in Italia, insegnasse all’Università di Bologna.
Quindi Benedetto XIV – scrive ancora il Frisi – «senza preventiva petizione, e di moto proprio la nominò a Lettrice onoraria di Matematiche nella celebre Università di Bologna»; segue l’invito del Senato accademico di Bologna a occupare la cattedra di Matematica dell’Università: avveniva nel 1750. Pur iscritta nei ruoli dei cattedratici dell’Università di Bologna (la registrazione fu mantenuta per 45 anni) Agnesi non si spostò da Milano, dove orientava la propria esistenza, sempre più, a pratiche religiose e caritatevoli, nonostante il padre manifestasse la propria contrarietà: «Oltre l’assiduità sua nel prestare temporali e spirituali benefici agli infermi di sua Parrocchia, e del vicino Spedal Maggiore,[11] fattesi assegnare dal padre alcune remote stanze di casa, ove ella abitar potesse segregata dalla restante di sua famiglia, cominciò a tenere presso di sé successivamente qualche inferma, alla quale personalmente e tutta sola rendeva gli opportuni servigi». Nonostante questa svolta pietistica, si prestava «senza difficoltà apparente, e senza indugio veruno ai desideri paterni […] intervenendo con aspetto ilare e tranquillo alle consuete Accademie di Casa»: cioè continuava a prendere parte alle dotte riunioni (le “Accademie”) del circolo intellettuale di casa Agnesi. E lo faceva «proponendo, o rispondendo a quesiti, problemi e dubbi scientifici». Le Accademie erano non di rado ravvivate dalle esecuzioni di donna Maria Teresa, sorella minore di Maria Gaetana, donna anche lei di talento, clavicembalista e compositrice.

Fig. 8 – ‘Concerto per il cembalo’, di Maria Teresa Agnesi.

Due anni dopo, nel 1752, viene a mancare il padre, per un forte attacco di petto, conseguenza di un alterco con Gianluca Pallavicini, «Governatore e Capitano generale della Lombardia austriaca», che gli rimproverava negligenza nel maritare le figlie, in particolare Maria Teresa, che aveva recentemente ricevuto una proposta di matrimonio, poi andata a vuoto, secondo le malelingue, per intervento del genitore. Questo episodio conferma la sollecitudine paterna per le figlie – testimoniata dall’educazione che impartì a Maria Gaetana – ma non ci autorizza ad alcuna illazione strampalata: quando diremo che il padre era orgoglioso della gloria che le figlie procuravano al suo casato di recentissima nobiltà (il titolo di feudatario di Montevecchia era stato acquistato con i proventi dell’industria della seta), avremo detto tutto quel che si può dire, sulla base di testimonianze disponibili e incontrovertibili.
Morto il padre, Maria Gaetana, «tolto di mezzo ogni impedimento a seguire la divina volontà, tutta all’istante si dedicò a Dio ed a beneficiare i prossimi più indigenti, […] notte e giorno provvedendo a’ loro bisogni colle proprie mani, senza sostituzione di alcuno de’ suoi domestici». Giustificava la svolta impressa alla propria vita (aveva 34 anni e sarebbe vissuta ancora 47 anni) con queste parole: «L’uomo deve sempre operare per un fine, il Cristiano per la gloria di Dio; finora spero che il mio studio sia stato di gloria a Dio, perché giovevole al prossimo ed unito all’obbedienza, essendo tale anche la volontà e genio di mio padre: ora cessando questa, trovo mezzi e modi migliori per servire a Dio e giovare al prossimo, ed a questi devo e voglio appigliarmi».
Sul piano intellettuale si dedicò a una lettura indefessa delle Sacre Scritture e alle opere, greche e latine, dei Padri della Chiesa. Scrisse un «Trattato sulle virtù, i misteri e le eccellenze di nostro Signore Gesù Cristo». Gli studiosi di matematica Italia e all’estero, le chiedevano di farle visita, ma lei declinava l’invito, con ferma cortesia. E quando, nel 1762, l’Accademia di Torino le inviò i lavori di Lagrange inerenti al calcolo delle variazioni e chiese un suo giudizio, la risposta fu che «le serie occupazioni sue l’impossibilitavano a ricevere questi contrassegni non meritati dell’altrui stima».
Ottenuta la liquidazione della sua parte di eredità (da dividere fra tredici fratelli e sorelle superstiti), «si fissa in una ristretta parte della casa stessa»: un quartierino di tre stanze, che riempì di povere inferme «senza punto eccettuare le ulcerose, o le giudicate insanabili, alle quali prestava l’usata assistenza per sé sola [cioè, senza ricorrere ad altri] in ogni loro bisogno, medicando eziandio le loro piaghe schifose ed orribili con le proprie mani». Insomma, il suo quartierino divenne un piccolo ospedale e per far fronte alle spese pose in vendita i gioielli che aveva avuto in dono dall’imperatrice Maria Teresa.
Poiché però «sì ristretto ricovero» non corrispondeva alla «dilatazione della sua carità, risolvette di ritirarsi dalla casa paterna» e si trasferì a Porta Vigentina con quattro inferme. Era il 1759, sette anni dopo la morte del padre. Intanto aveva dato fondo alle sostanze e, volendo istituire un ospedale, chiese soccorso ai facoltosi milanesi che lei conosceva e che l’avevano conosciuta, ma invano. Si rivolse allora alle istituzioni religiose. Dopo due anni di privazioni e macerazione volontaria cadde malata, tanto che i medici riuscirono finalmente a convincerla a ritirarsi per qualche tempo nella villa paterna a Valera Vecchia, in Brianza.

Fig. 9 – Villa Agnesi a Valera Vecchia, presso Varedo, in Brianza. Si legge nella targa «In questa villa paterna / visse / Maria Gaetana Agnesi / studiando istruendo beneficando. / A ricordo dell’illustre donna / nel primo centenario / della sua morte / il Municipio pose. / IX gennaio MDCCCXCIX».

Tornata a Milano, assisteva gl’infermi e insegnava il catechismo nella sua parrocchia, assumendosi «con eroica pazienza il carico d’istruire persone sceme[12] giudicate incapaci di accostarsi ai SS. Sacramenti», eppure ottenendo risultati che furono giudicati sorprendenti.
Maria Gaetana ha da poco trasferito nuovamente la sua dimora, da porta Vigentina a porta Romana, quando nel 1711 riceve dall’arcivescovo di Milano, il cardinale Pozzobonelli, «l’incarico di visitatrice e direttrice delle donne, specialmente inferme, nel Luogo pio Trivulzi»: il “Pio Albergo Trivulzio” che ancora oggi è la casa di cura per gli anziani meno abbienti di Milano. Allora però non si trovava dov’è adesso, lungo la via per Baggio, ma in contrada della Signora, di fronte a Palazzo Sormani. Qui infine Maria Gaetana si trasferì (nel 1783) e qui trascorse la maggior parte del tempo restante della sua vita, fino alla soglia del nuovo secolo, «accomunatasi per sua umiltà a quelle povere alunne [cioè alle donne che vivevano della carità dell’Istituto], in apparenza quasi una di esse» e «tutta consacrata all’assistenza del suo Spedale». Quando la sua salute peggiorò (la vista e l’udito erano ormai assai deboli, soffriva di emicranie ed era tormetata dalla gotta) accettò l’esortazione e quasi l’imposizione del fratello Giovanni, che lei stessa aveva amorevolmente educato quand’era giovinetto, di trascorrere qualche tempo nelle ville che furono del padre: a Montevecchia e Valera Vecchia, delle quali abbiamo detto. Tornata al Pio albergo, Maria Gaetana scivola in uno stato di grande debolezza, fisica e mentale. Scrive il conte Frisi che «la confusione della sua mente cresce al sommo, a cui si aggiunge una grande aridità di spirito. Questa le cagiona forti timori intorno alla sua eterna salute» (per “aridità di spirito” deve intendersi la depressione). Il medico diagnostica un’idrope al petto, il decorso della malattia fa presagire la fine imminente, che lei accoglie ripetendo «con inusitato coraggio: Verumtamen non mea, sed tua voluntas est».
Banalizzando, si potrebbe paragonare la parabola di Maria Gaetana Agnesi a quella di Blaise Pascal che a trentuno anni abbandonò la matematica e la fisica per dedicarsi tutto alla religione e alla filosofia; Maria Gaetana abbandonò le Matematiche a trentaquattro anni. Ma a parte la differenza di scala tra il pensiero di Pascal e quello dell’Agnesi (senza per questo niente togliere ai suoi meriti), c’è nell’Agnesi qualcosa che preoccupava l’ambiente milanese, come preoccupava i parenti di santa Chiara d’Assisi (che cercarono di rapirla dalla Porziuncola, dove si trovava): il fatto è che l’esercizio della carità in queste due donne si accompagna, e non a caso, a un degrado sociale, più che accettato, ricercato. Leggendo tra le righe le parole del Frisi, che le fu amico e che ne tesse un elogio sincero, gli elementi per approfondire questo aspetto della sua personalità non mancherebbero. Il che non significa che si possa arrivare a certezza, per abili che si sia, come fu abile Freud a interpretare un tratto non irrilevante della personalità di Leonardo[13] – la sua omosessualità – analizzandone un sogno. È comprensibile dunque che una studiosa attenta della figura dell’Agnesi, Luisa Anzoletti, parli di un «enigma psicologico».[14]
La carità cristiana dell’Agnesi ha un tratto caratteristico del cattolicesimo lombardo, la concretezza e l’intensa operosità, ma a differenza per esempio del cardinale Federigo, che volge il privilegio (la superiorità intellettuale, la ricchezza) a fin di bene, lei annienta il privilegio e, come il principe Myškin del quale si diceva all’inizio, pecca, forse, della superbia – l’unica sua superbia – di volere confutare chi va sostenendo l’impossibilità di essere compiutamente cristiani. O, più semplicemente, come il Padre Sergio di Tolstoj, pensava, da sempre, fin da giovanetta, che servire Dio richiedesse una sorta di annientamento della personalità, una professione di umiltà al servizio dei bisogni della comunità. Quella personalità della quale non ebbe il pieno possesso finché il padre fu in vita, e che con eroico trasporto rese a Dio il giorno della morte di don Pietro.

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2. La cosiddetta versiera di Agnesi

Già il logo dedicato di Google, il “doodle” creato per ricordo di Maria Gaetana Agnesi, ci fa capire che la versiera è una sorta di curva a campana; abbiamo anche visto che nasce  dall’intersezione di una retta orizzontale e di una verticale, secondo un meccanismo comandato da un pallino che si sposta lungo un cerchio. Il doodle è però un troppo veloce: per capire il tracciamento geometrico della versiera, conviene ricorrere a questa presentazione animata, reperibile nel dominio del sito Geogebra (un software per l’apprendimento e l’insegnamento della matematica).

Fig. 10 – Facendo clic sull’immagine si apre una scheda che ci consente di tracciare manualmente la versiera: si porti l’indicatore del mouse sul punto B e lo si trascini sul piano; conseguentemente si modifica l’assetto della costruzione geometrica: la versiera è il luogo dei punti d’intersezione della retta orizzontale DF e della retta verticale EF.

La versiera è costruita in questo modo: dato un cerchio di diametro OA = 2a e un sistema di assi cartesiani Oxy, si consideri un punto D sulla circonferenza e dall’origine degli assi si tracci una retta passante per D. La retta OD incontra la retta orizzontale tangente al cerchio in A nel punto E. Si tracci una retta orizzontale passante per D e si tracci una retta verticale passante per E. Queste due rette s’intersecano in F e la versiera è – appunto – il luogo dei punti d’intersezione F al variare del punto D sulla circonferenza. Ragionando sulla similitudine dei triangoli OGD e OAE, e applicando il teorema di Euclide, si arriva facilmente a scrivere l’equazione della versiera:[15]

Ma perché chiamarla la “versiera di Agnesi”, dal momento che la curva non è stata scoperta da Gaetana Agnesi, e che lei mai ha pensato di attribuirsela? La matematica milanese non ne porta colpa, si è limitata ad affermare – nelle sue Instituzioni analitiche, a p. 318 – che questa curva prende il nome di versiera, perché così aveva letto in una nota del matematico Guido Grandi, che aveva collaborato alla prima edizione fiorentina delle opere del Galilei, edizione che precedeva di trent’anni la stampa delle Instituzioni analitiche: G. Grandi, “Nota al trattato del Galileo sul moto naturalmente accelerato”, in G. Galilei, Opere, III, Firenze 1718, p. 393.
Allora com’è nato l’equivoco? La spiegazione è assai semplice se si pensa al successo dell’opera dell’Agnesi: per chi leggeva per la prima volta quel nome – e non era a conoscenza della “nota” del Grandi – la versiera era “la versiera di Agnesi”.
Ma procediamo con ordine e vediamo quel che scrisse l’Agnesi: il passo che ha ingenerato l’equivoco è sottolineato in rosso. E l’Agnesi scrive: «curva… che dicesi la Versiera». Tutto qui.

Figg. 11, 12 – Qui sopra, la pagina delle Instituzioni analitiche dove si fa menzione della versiera come soluzione del problema proposto. Facendo clic sull’immagine, il libro si apre a p. 381. Qui sotto, la fig. 135 alla quale fa riferimento il testo (a p. 380), collocata alla fine del libro. 

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Si noti che l’equazione della versiera che leggiamo a p. 381 appare diversa da quella sopra riportata, conformemente a quanto si legge nei libri di matematica che oggi trattano l’argomento. L’equazione che leggiamo nelle Instituzioni è invece:

La differenza nasce dal fatto che il parametro a nella trattazione dell’Agnesi non è il raggio, ma il diametro del cerchio, e che gli assi x e y sono scambiati (perciò li abbiamo indicati in rosso). Con pochi passaggi algebrici si dimostra che l’espressione dell’Agnesi è riducibile alla nostra, normalizzata.
Trascuriamo il fatto che in realtà l’equazione fu già studiata da Fermat sessant’anni prima[16] e consideriamo invece quanto scrisse Guido Grandi nella sua nota: anche qui abbiamo sottolineato in rosso le parole che rivestono importanza per il seguito del nostro argomento, perché si tratterà di capire che cosa veramente vuol dire “versiera”, o – meglio – che cosa intendeva Grandi. Già, perché in toscano, o comunque nell’italiano letterario, “versiera”, cioè “avversiera”, ovvero colei che è avversa, sarebbe la moglie del diavolo o comunque una donna brutta e cattiva, una strega. Né mancò, come vedremo, chi così volle intendere la versiera cosiddetta di Agnesi.

Fig. 13 – “Nota al trattato del Galileo sul moto naturalmente accelerato”, contenuta nella prima edizione fiorentina dell’Opera del Galilei. Facendo clic sull’immagine è possibile sfogliare il libro.

Scrive dunque il Gandi: «…quella curva, che io descrivo nel mio libro delle quadratura alla prop. 4 nata da’ seni versi, che da me suole chiamarsi la Versiera, in latino però Versoria». Dunque Grandi intendeva che la versiera prendesse il nome dai “seni versi”. E che cosa saranno mai codesti seni versi? Non rimane che far riferimento al libro sulla quadratura delle curve e leggere quel ch’è scritto alla proposizione 4. Il libro in questione è: Quadratura circuli, et hyperbolae per infinitas hyperbolas, & parabolas geometrice exhibita …, auctore D. Guidone Grando, Ex Typ. Francisci Bindi, Pisis MDCCIII. Ebbene, alle pp. 24-25 troviamo la Propositio IV, e quel che segue, e troviamo anche l’espressione “sinus versus”. Troviamo anche la descrizione della versiera, che però qui non è nominata come tale; infatti Grandi non afferma di aver nominato versiera (o versoria) quella curva, già nel suo libro latino del 1703; nella sua nota del 1718 scrive che quella curva lui la chiama versiera, quando si esprime in italiano, e che in latino dovrebbe chiamarsi versoria.

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3. Significato vero della parola “versiera”

Abbiamo dimostrato che la cosiddetta versiera di Agnesi in realtà non è di Agnesi: prima di lei questa curva fu studiata da Fermat (1666) e fu battezzata da Grandi (1718). Ma furono le Instituzioni analitiche dell’Agnesi (1748) a rendere celebre questa curva.
Dimostriamo adesso che è del tutto fantasiosa la spiegazione del termine “versiera” ancor oggi proposta dai più, quando si cimentarono a spiegare quel «nata da’ seni versi» che scrisse Grandi nella nota al Galilei a proposito del moto accelerato.
Non siamo delatori, dunque non faremo nomi; però vediamo come il termine “versiera” sia spiegato in quattro recenti pubblicazioni a stampa:

• «…una parola derivata dal latino vertere, “girare”»; questo è vero, ma non è una spiegazione: che cosa gira? forse il pallino che ruota intorno alla circonferenza, come abbiamo visto nella costruzione animata della versiera (vedi fig. 10)? In ogni caso Grandi non intendeva questo.

• «…dal nome di una corda marinara agganciata a una vela che ruota (dal latino vertere)»: in effetti versoria è in latino una scotta, che consente di orientare la vela e fa girare l’imbarcazione; vero, ma Grandi intendeva, come vedremo, che la curva versoria prendesse il nome dal sinus versus, e non da una corda.

• «…curva citata da Fermat e poi studiata dal Grandi, il quale, in modo ben poco poetico, l’aveva definita “curva con seno verso”». In effetti c’è un seno, ma non è quello della curva; è un seno nel senso trigonometrico della parola. La parola latina sinus (di qui l’italiano “seno”) nasce da una traduzione dall’arabo, che era a sua volta trascrizione dall’indiano. I traduttori latini aggiunsero vocali al termine arabo che così manipolato prendeva il significato di un’insenatura: sinus, appunto.

• «Grandi l’aveva chiamata “curva con (seno) verso”, cioè contrario, nemico»: bisognerà riconoscere che si fa fatica a pensare nemico un seno, sia esso muliebre, o trigonometrico.

• Infine, non mancò chi credette veramente che “versiera” significasse “strega”; costui fu quel John Colson che, come abbiamo visto, tradusse le Instituzioni analitiche dell’Agnesi, talché ancor oggi in inglese la curva è nota come witch of Agnesi, dove witch significa strega, appunto.

Eppure, per evitare d’incorrere in ricostruzioni fantasiose del significato del termine, sarebbe sufficiente andare alla fonte. Orbene Grandi, nel farci sapere di aver battezzato la curva “versiera”, ci rimanda alla Proposizione IV di quel suo trattato sulla quadratura del circolo e dell’iperbole, scritto nel 1703. Non rimane che aprirlo. Invece della prima edizione però apriamo la seconda, del 1710, che presenta il vantaggio – per noi che sfogliamo il libro in rete – di avere le figure inserite nel testo, invece che alla fine.

Figg. 14, 15 – Qui sopra, seconda edizione (1710) del trattato del Grandi sulla quadratura del cerchio e dell’iperbole. Scrive il Loria nella sua Storia delle matematiche, p. 654,[17] che questo scritto segna l’abbandono da parte del Grandi dei metodi infinitesimali in uso nella scuola galileiana per adottare quelli inventati da Leibniz» del quale questa edizione porta lo stralcio di una lettera, indirizzata a Grandi. Facendo clic sull’immagine è possibile sfogliare il libro. La Proposizione IV si trova a p. 7. La figura qui sotto, dove identifichiamo il sinus rectus HL e il sinus versus IL, si trova a p. 5.

Nella Proposizione IV Grandi descrive le proprietà della curva DdSQI, che è quella che vediamo qui sopra, che altro non è che un ramo della versiera. Ma per intuire quale sia la relazione tra versiera e sinus versus dobbiamo andare alla precedente Proposizione III dove si fa menzione esplicita del sinus HL (che deve essere inteso come sinus rectus, in assenza di specificazione) e del sinus versus IL. Che la curva sia qui costruita diversamente da come si è fatto nella presentazione animata di fig. 9 non deve sorprendere, perché diversa è la prospettiva con cui la curva è esaminata. Vediamo invece che cosa sia il sinus versus. Non è un’“insenatura contraria”, o “nemica”, ma una funzione trigonometrica, meno conosciuta delle funzioni trigonometriche abituali seno, coseno, tangente, cotangente: ma tutt’altro che un’entità misteriosa; tant’è che in italiano ha un nome, quello di “senoverso”. Viene indicato come sinv θ, o senv θ, o versen θ. Dato un angolo θ, il senoverso di θ è:

senv θ = 1 – cos θ

come mostra la figura:

Fig. 16 – Definizione geometrica del senoverso.

Questo era dunque il sinus versus che intendeva il Grandi, che battezzò la versiera. E questo è tutto.

Fig. 17 – La versiera cosiddetta di Agnesi tracciata sulla pavimentazione della piazza del Municipio di Varedo, che comprendeva il borgo di Valera Vecchia (oggi nel territorio di Bovisio Masciago), dove per qualche tempo Maria Gaetana Agnesi soggiornò, nella villa paterna (vedi Fig. 9).

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Bibliografia

L. Anzoletti, Nel secondo centenario della nascita di Maria Gaetana Agnesi. Intorno a un supposto enigma psicologico della sua vita, in “Vita e Pensiero”, IV, 8, 1918, pp. 303-311.

A.F. Frisi, Elogio storico di D.a Maria Gaetana Agnesi milanese, Galeazzi, Milano 1799.

G. Loria, Storia delle Matematiche, Cisalpino-Goliardica, Milano 1950 [1929¹].

A. Masotti, Maria Gaetana Agnesi, Rendiconti del seminario matematico e fisico di Milano, vol. XIV, 1940.

L. Tenca, “La versiera di… Guido Grandi”, in Bollettino dell’Unione Matematica Italiana, Serie 3, Vol. 12 (1957), n. 3, pp. 458–460.

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Note

[1] Non si pensi che una come Gaetana Agnesi, schiva come poche della mondanità e delle apparenze, si prestasse a posare per un ritratto: l’impressione delle sue fattezze fu rubata, come scrive lo stesso scultore sul piedistallo del busto: «Ignotus Te adii, et tumTe Tibi surripiebam / Francus, dum fieri quae peto posse negas. / Parce dolo…»; cioè “Io, Franchi, mi presentai a te che non mi conoscevi, ed ecco che ti rubavo l’immagine, mentre tu negavi che potesse avvenire quel che chiedevo. Perdona il sotterfugio…».

[2] Ventiquattro e non ventuno, come pure si legge in numerose biografie. Vedi A.F. Frisi, Elogio storico…, cit, p. 63, dove leggiamo che Maria Gaetana attese all’«educazione de’ suoi numerosi fratelli e sorelle (de’ quali benché in numero di ventitré, ben tredici vissero insieme dal 1753 al 1764)». Che fosse primogenita e non terzogenita – come pure avviene di leggere – è scritto a p. 8.

[3] Se non altrimenti specificato, le espressioni tra virgolette uncinate sono desunte dal Frisi.

[4] Cioè appartenente all’Ordo clericorum regularium vulgo Theatinorum.

[5] Conosciamo il titolo e lo svolgimento dell’orazione, tradotta in elegante latino, perché due anni dopo sarebbe stata data alle stampe: Oratio qua ostenditur Artium liberalium studia a femineo sexu neutiquam abhorrere, habita a Maria de Agnesis Rhetoricae operam dante anno aetatis suae nono nondum exacto die 18. Augusti 1727.

[6] Traités élémentaires de calcul différentiel et de calcul intégral, traduits de l’italien de Mademoiselle Agnesi, avec des additions, Paris 1775.

[7] Tradusse il De Methodis Serierum et Fluxionum dove Newton, indipendentemente da Leibniz, pose le basi del calcolo infinitesimale.

[8] Analytical Institutions in four books : Originally Written in Italian by Maria Gaetana Agnesi, London 1801.

[9] «Si les Loix de l’Institution de l’Academie avoient permis d’y admetre des Dames…».

[10] In una lettera al matematico Padre Rampinelli Maria Gaetana Agnesi descrive così il dono della Sovrana: «Quale autem, ac quantum illud sit verbis satis declarare non licet, cum expectationem omnem sane vincat. Capsula ex crystallo rupea mirum in modum elaborata, pretiosisssimis lapillis ornata, opus hercle ἀτίμητο, anulus adamantinus in ea contentus perfecti plane generis».

[11] La casa di don Pietro Agnesi è in via Pantano, l’Ospedale Maggiore ha sede nella Ca’ Granda, progettata dal Filarete per Francesco Sforza, che oggi ospita l’Università statale di Milano, in via Festa del Perdono.

[12] Al tempo in cui il Frisi scrisse il suo Elogio, non esisteva il precetto del politicamente corretto e le persone sceme erano chiamate così, senza giri di parole.

[13] S. Freud, Eine Kindheitserinnerung des Leonardo da Vinci, Leipzig und Wien 1910.

[14] Vedi Bibliografia.

[15] Si veda per esempio il sito ‘Progetto matematica’, alla pagina La versiera di Agnesi.

[16] Si veda questa edizione delle sue opere alle pp. 233-34: Oeuvres de Fermat, III, Gauthier-Villars, Paris 1896 (dove la notazione matematica è diversa, sia dalla nostra, sia da quella di Agnesi).

[17] Vedi Bibliografia.

Fig. 18 – Busto di Maria Gaetana Agnesi, collocato nel Cortile d’onore del Palazzo di Brera, opera di Innocenzo Fraccaroli (1847): anche questa è un’immagine idealizzata, in stile neoclassico alla maniera del Thorvaldsen.